• Главная
• Контакты
• Нашёл ошибку
• Прислать материал
• Добавить в избранное

Прежде чем ответить на вопрос проекта Edge, давайте определим, что мы называем доказательствами. (Математики любят с самого начала точно определять, о чем пойдет речь, и эта склонность к педантизму иногда сводит с ума наших коллег — физиков и инженеров.) Например, вслед за Декартом, я могу доказать самому себе, что существую, но вряд ли смогу доказать это кому-нибудь другому. Даже те, кто хорошо меня знает, могут предположить (хотя это маловероятно), что я просто плод их воображения. Если вы хотите от доказательства железобетонной твердости, то нет почти ничего, кроме нашего собственного существования (что бы это ни означало и в каком виде мы бы ни существовали), что мы можем доказать самим себе. И нет вообще ничего, что мы можем доказать другим.

Принято считать, что математическое доказательство — самая надежная форма доказательства из всех возможных. В те дни, когда Евклид писал «Начала», свой великий труд по геометрии, это было действительно так — по крайней мере, так казалось. Но многие доказательства геометрических теорем, которые привел Евклид, позже оказались неверными. В конце XIX века Дэвид Гилберт уточнил многие из них — хотя математики веками верили в них и объясняли их своим студентам. Так что даже в сфере простейших доказательств геометрии иногда трудно отличить правду от лжи.

Если рассмотреть некоторые доказательства, полученные в последние 50 лет, с помощью невероятно сложных умозаключений, иногда занимающих больше сотни страниц, уверенности становится еще меньше. Почти все математики (в том числе и я) верят, что Эндрю Уайлс доказал последнюю теорему Ферма в 1994 году, но так ли это? Я в это верю, потому что меня убедили эксперты.

В конце 2002 года российский математик Г. Перельман опубликовал в Интернете схему доказательства гипотезы Пуанкаре, знаменитой топологической проблемы, которую никто не может разгадать около сотни лет. Математики изучают доказательство Перельмана уже три года, но до сих пор не уверены в его правильности (они думают, что «вероятно, оно правильно»).

Или возьмем Томаса Хейлса. В 1998 году он предложил доказательства выдвинутой 360 лет назад гипотезы Иоганна Кеплера о том, что самый эффективный способ упаковать шары одинакового размера (например, пушечные ядра, с которых и началась эта гипотеза) — сложить их в форме пирамиды, как продавцы складывают апельсины на прилавке. Хейлс до сих пор не знает, примет ли математическое сообщество его доказательства. Комитет мировых экспертов изучал его доказательство (частично при помощи компьютера) в течение пяти лет. Весной 2003 года эксперты заявили, что не нашли никаких серьезных ошибок в его доказательстве, но все же не уверены в его правильности.

Но если само понятие доказательств настолько туманно даже в математике, ответить на ежегодный вопрос проекта Edge не так уж легко. Лучшее, что можно сделать, — это придумать что-нибудь, во что мы верим, но не можем доказать, просто ради собственного удовольствия. Другие могут соглашаться или не соглашаться с нами, в зависимости от того, насколько они доверяют нам в сфере науки, философии, какой-то другой области, на основании нашей репутации и наших предыдущих работ. Даже готовность математиков прошлого принять теорему Гёделя о неполноте (которая позволила бы мне в ответ на вопрос Edge сказать, что я верю, что в арифметике нет внутренних противоречий) уже невозможна. Теорема Гёделя показала: невозможно доказать, что теория, основанная на аксиомах, например, арифметика, свободна от противоречий, если мы пытаемся сделать это в рамках этой самой теории. Но это не значит, что этого нельзя доказать в рамках более обширной теории. На самом деле в стандартной теории, основанной на наборе аксиом, можно доказать, что арифметика лишена противоречий. Лично я верю этим доказательствам. Для меня как математика непротиворечивость арифметики полностью доказана, к моему полному удовольствию.

Поэтому, чтобы ответить на вопрос проекта Edge, нужно относиться к доказательствам с точки зрения здравого смысла. Тогда доказательства — это просто аргументы, способные убедить разумного, профессионального, скептичного, опытного эксперта в соответствующей области. В этом духе я могу перечислить достаточно узкие математические проблемы, которые считаю верными, но не могу этого доказать, начиная со знаменитой гипотезы Римана. Но я предпочитаю использовать свой математический взгляд, чтобы указать на неопределенность самого понятия «доказательство». Я верю (хотя и не могу этого доказать), что могу доказать свою точку зрения.